Per calcolare aritmeticamente le radici reali di un’equazione di grado n :

1 con la formula di convergenza si calcola la prima radice;

2 successivamente con le formule si calcolano i coefficienti della ridotta;

3 quindi con la relativa convergente si calcola la prima radice della ridotta, cioè la seconda radice della primaria;

4 quindi si passa ai coefficienti della successiva ridotta, continuando come ai punti 1), 2) e 3 fino ad avere tutte le radici della primaria.

 

Si abbia la generica equazione di ennesimo grado nella forma:

1)

Chiamiamo convergente di grado n la 2):

2)

Calcoliamo ordinatamente in sequenza (catena) la 2) nei valori a partire da:

3)

finché

4)

Allora si ha la prima radice:

5)

 

Per ottenere la ridotta di un grado contenente le successive radici

calcoliamone i coefficienti con le formule:

6)

Avremo così la ridotta:

7)

che con la relativa convergente ci permetterà di calcolare la successiva radice

e quindi procedendo analogamente potremo calcolarci le altre radici.

Si abbia la generica equazione di 5° grado nella forma:

1)

posto:

2)

la convergente ad una delle radici dell’equazione di 5° grado è:

3)

Sviluppando in serie tale espressione finché

4)

otteniamo che è una delle radici dell’equazione di 5° grado:

5)

Valori di convergenza della 3) a partire dalla 2):

6)

7)

Otteniamo così che:

8)

che è la prima delle radici della 1)

Per ottenere la ridotta di 4° grado calcoliamone i coefficienti con le formule:

9)

e quindi la ridotta di 4° grado che ci permetterà di calcolare la successiva radice:

10)

11)

la convergente ad una delle radici della 10) è:

12)

Valori di convergenza della 12) a partire dalla 13):

13)

14)

Otteniamo così che:

15)

che è la seconda delle radici della 1)

Per ottenere la ridotta di 3° grado calcoliamone i coefficienti con le formule:

16)

e quindi la ridotta di 3° grado che ci permetterà di calcolare la successiva radice:

17)

18)

la convergente ad una delle radici della 18) è:

19)

Valori di convergenza della 18) a partire dalla 20):

20)

21)

Otteniamo così che:

22)

che è la terza delle radici dell’esempio.

Per ottenere la ridotta di 2° grado calcoliamone i coefficienti con le formule:

23)

e quindi la ridotta di 2° grado che ci permetterà di calcolare le ultime 2 radici:

24)

25)

26)

27)

Va notato che se durante i calcoli la convergente non va verso un unico valore vuol dire che vi è una radice complessa coniugata.

È possibile trovare le eventuali radici reali residue facendo delle traslazioni preliminari fittizie con ad esempio e quindi tentare la soluzione.

Trovata la radice della traslata, sommando ad essa il valore della traslazione fittizia, si otterrà la radice dell’equazione primaria.

Nicolò Giuseppe Bellia

Tarquinia, 15 agosto 2004